0. 衔接内容

命题逻辑

常用命题及其形式

全称量词命题 $\mathrm{\forall }x,P(x)$ 与存在量词命题 $\mathrm{\exists }x,P(x)$，二者可以通过否定命题相互转化。

逻辑蕴含（假言命题）$A\to B$；等价于 $\mathrm{\neg }A\vee B$；否定命题 $A\wedge \mathrm{\neg }B$；逆否命题 $\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$，与原命题同真同假；否命题 $\mathrm{\neg }A\to \mathrm{\neg }B$，真假性与原命题无关。

证明题的思路

• 常规思路：正推、倒退以及两者的结合；
• 反证法：对于显而易见但不易说明；或是与常见形式对立的命题使用；
• 归纳法：证明某一特征对全体 $\mathbb{N}$​ 成立时使用；
• 借助逆否命题。

解析式的概念与运算

解析式的概念

graph LR
    A[解析式] -->| | B[代数式] & C[超越式]
    B -->| | D[有理式] & E[无理式]
    D -->| | F[整式] & G[分式]
    F -->| | H[单项式] & I[多项式]

单项式：系数与变量的乘积，各变量指数为非负整数，指数之和称次数。

多项式：多项式的加和。次数为最高次单项式的次数。若所有单项式次数相同，称齐次式。

单项式与多项式统称整式。

两个整式做差得到分式。

分式和整式统称有理式。

存在变量指数为分数（即存在根号）的式子称无理式。

由数字与变量进行有限次四则运算、乘方、开方得到的式子为代数式。

存在变量指数为无理数的式子称超越式。

代数式与超越式统称解析式。

有理式的运算

类比小学四则运算列竖式的过程：

• 加减法：相同类型项对齐加减。
• 乘法：对一元多项式或二元齐次多项式，列竖式乘法。
• 除法：先约去显而易见的公因式，然后列竖式除法。

对整式 $F(x)$ 与 $G(x)$，记其最大公因式 $gcd(F(x),G(x))$ 为其所有公因式中次数最高且最高次项系数为 $1$ 的那个。若 $gcd(F(x),G(x))=1$，称 $F(x)$ 与 $G(x)$ 互质。

无理式的运算

对 $a>0$，$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$。

务必注意 $\sqrt[k]{a^{2n}}=|a{|}^{\frac{2n}{k}}$。

若无理式 $S(x)$ 与 $M(x)$ 满足 $S(x)M(x)=A(x)$，其中 $A(x)$ 为整式，则称 $S(x)$ 与 $M(x)$ 互为共轭因式，可用于有理化过程：

• 分母有理化：${\displaystyle \frac{F(x)}{S(x)}}={\displaystyle \frac{F(x)M(x)}{A(x)}}$
• 分子有理化：${\displaystyle \frac{S(x)}{F(x)}}={\displaystyle \frac{A(x)}{F(x)M(x)}}$

常用的共轭因式：

• 借助平方差：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$
• 借助立方和立方差：$(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a\pm b$​

如果根式太复杂，可以考虑对根式换元化为整式处理，看起来更清楚点。

方程与不等式

一元 $n$ 次方程

重要不等式与应用

函数

幂函数、指数函数与对数函数

对称问题

三角函数与反三角函数

数列及其单调性

数列的概念

等差数列

等比数列

单调数列

坐标系及其变换

直角坐标系与坐标变换

极坐标系

直角坐标与极坐标的关系