CF 2089A

倒推，先向 $C$ 中放入所需数量的质数，再考虑如何从 $c_i$ 构造 $p_i$。

我们放入什么样的质数，是多个不同的质数还是尝试只放入一种质数？利用给出的定理，我们能得到什么？

$c_i$ 里有个很眼熟的东西......

正推显然没有思路，考虑倒推，由于随意指定多个质数毫无规律又不可控倒推回去后可能得不到一个合法的排列，因此我们考虑能否向 $C$ 中只放入 $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor -1$ 个特定的质数 $p$。接下来考虑如何得到这样的 $C$，由于$c_i$ 的分母涉及前缀和，我们可以考虑如下的构造：

直到 $p-i<1$ 或 $p+i>n$ 为止。容易证明该序列所对应的 $c_i$ 每三个数中就有两个为 $p$。

利用给出的定理，必然存在一质数 $p\in [\lfloor \frac{n}{3}\rfloor ,\lceil \frac{2n}{3}\rceil ]$。从而可以证明这样的构造长度至少为 $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$，从而保证了我们可以得到题目要求的质数数量。